Factorización de Polinomios

 

1.Signos de Agrupación.

Los signos de agrupación  o paréntesis son de cuatro clases:

1.     El paréntesis ordinario ( )

2.     El paréntesis angular o corchete [ ]

3.     Las llaves { }

4.     El vínculo o barra  —

Uso de los signos de Agrupación.

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ello deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad.

Así  a + (b –c) que equivale a   a  + (+b –c)  Indica que la diferencia de b- c debe sumarse con  a y ya sabemos que para efectuarse esta suma escribimos a continuación de a  las demás cantidades con su propio signo y tendremos. a + (b –c)  = a +b -c

La expresión x + (-2y +z) Indica que la x hay que sumarle -2y +z; luego, a continuación de x, escribimos -2y +z con sus propios signos y tendremos: x + (-2yz +z) =  x-2y+z

(a + b) c        Indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c.

[a +b] m        Indica  que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m.

{a +b} ÷ {c – d}  Indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.

Vemos, pues que hemos suprimido el paréntesis precedido del signo +, dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de el con  su propio signo.

Regla General para Suprimir signos de Agrupación.

1.     Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.

2.     Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.

Por ejemplo: Suprimir los signos de agrupación de la expresión.

  a + [b-c] + 2a – (a +b)

Esta expresión equivale a  [+a –c] +2a – (+a +b).

Como el primer paréntesis va precedido del signo + la suprimimos dejando  a las cantidades que se hallan dentro con su propio signo y como el segundo paréntesis  va precedido del signo — lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro y tendremos.

a + [b-c] + 2a – (a +b) =    a+b-c+2a –a-b = 2a - c

Ejercicio .  Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes.

Número	Términos	Solución
1	5x + (-x –y) – [-y +4x] + {x -6}
2	x – (x-y)
3	x2 + (-3x-x2+5)
4	a +b – (-2a+ 3)
5	4m –  (-2m-n)
6	2x +3y-4x+3y
7	a + (a-b) +  (-a +b)
8	a2 + [ -b2 + 2a2] – [a2 –b2]
9	2a-{-x+a-1}-{a+x-3}
10	x2+y2-{ x2 + 2xy + y2) + [ -x2+ y2]
11	(-5m+6) + ( -m +5) -6
12	a – (b +a) + (-a +b) – (-a + 2b)
13	(x2-y2) + x y + (-2x2 + 3xy) – [ -y2 + x y]
14	(a +b) + (-a-b) –(-b-a) +(3a + b)

 

1.Productos Notables.

Se llama productos notables  a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Cuadrado de la suma de dos Cantidades. (Binomio al cuadrado)

Elevar al cuadrado a + b equivale a multiplicar este binomio por sí mismo.

(a +b)^{2 =}   (a + b) (a +b)

 

Efectuando este producto tenemos:

                     

Por ejemplo:

Desarrollar  (x+4)²

 

Cuadrado del primer término  ………………………………. ....        x²

El doble del primer término por el segundo………….…….             2x. 4

Cuadrado del segundo término…………………………….              4²

                                

                              (x +4)² =  x² + 8x + 16

Ejercicio .  Encuentra directamente el resultado de elevar al cuadrado los siguientes binomios.

Numero	Binomio al cuadrado	Resultado
1	(x -y)2
2	(a2 -b)2
3	(m3 + n2)2	25m6 + 30m3n2 + 9n4
4	(y3 + 6)2
5	(5 –a6)2
6	(a +2b)2
7	(15x +3y2)2
8	(x+1) ( x+1)
9	(2a2b3 + 3 x3y)2
10	(5 +x)2
11	(x +y )2
12	( 1 +x2)2
13	(x +11)2
14	( 9 +4m)2
15	(6a + b)2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades.

Elevar (a-b) al cuadrado equivale a multiplica resta diferencia por sí misma, luego:

(a -b)^{2 =}   (a - b) (a -b)

          Efectuando este producto tendremos.

                                       a  - b

                                      a   - b

                                       a² -ab

                                           -ab+ b2

                                       a² -2ab+b²  

(a -b)^{2 =}   a² -2ab+b²  

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

 

Por ejemplo:

Desarrollar (x-5)²   =  x²-10x+25

(4a ²-3b³)² = 16a⁴ – 24a²b³ + 9b⁶

 Encuentra el resultado de elevar al cuadrado los siguientes binomios.

Numero	Binomio al cuadrado	Respuesta.
1	(a -3)2
2	(x-7)2
3	( 9 –a)2
4	(2a -3b)2
5	(4ax – 1)2
6	(x2 -1 )2
7	( x-8)2
8	(x2-9)2
9	(x-y)2
10	(5 - x)2

Binomio al Cubo (Cubo de un Binomio).

 

Un binomio  (a +b) al cubo (a +b)³ significa que el binomio a +b está multiplicándose por sí mismo tres veces. Es un producto notable. Se puede generalizar el proceso para obtenerlo. Para encontrar la regla que permita dar solución directamente a un binomio al cubo iniciaremos por efectuar la multiplicación

 

(a + b) ³ =  (a +b) (a +b) (a +b)

 

Efectuemos la multiplicación de los primeros dos factores y este resultado se multiplica por el tercer factor.

 

(a +b) (a +b) = (a +b)²

                                  ⁼ a²+2ab+b²

(a +b)³ = (a²+2ab+b²) (a +b)

            = (a²+2ab+b²) a  + (a²+2ab+b²) b

            =a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³

            =a³+3a²b+3ab²+b³

Con el ejemplo anterior podemos generalizar la regla para obtener de una manera directa el resultado de un binomio al cubo:

              

¿Qué pasaría  si tuviera el cubo de la diferencia de dos términos? Esto es, ¿Cuál sería el resultado de 

(a –b )3, aplicando la regla anterior, tenemos que

 

 (a -b)³ = (a)³ + 3 (a)² (-b) + 3(a) (-b)²+ (-b⁾³

             =  a³  - 3a²b+3ab² - b³.

·       Lo que nos dice que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triple del cuadrado del primero  por la segunda, más el triple de la primera por el cuadrado del segundo, menos el cubo de la segunda cantidad.

Ejercicio   Desarrolla  en forma directa el cubo de los siguientes binomios. 

Número	Binomio al cubo	Resultado.
1	( m2 + n) 3
2	(2a – 3)2 ( 2a -3)
3	(a3 + b)3
4	( 5 – x2)3
5	(4x2y – 2z)3
6	(m2-2)3	m6-6m4 +12m2-8
7	(5 +2y3)3
8	(ab2 +c3)3
9	(x -2 )3
10	(x + 5 )3

 

Producto de dos binomios conjugados.

 

El producto de la suma de dos números (a +b)  por su diferencia (a-b) es un producto notable; a ambos factores, uno en relación con el otro, se les llama binomios conjugados. El producto  de dos binomios conjugados recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

 

Efectuaremos el producto de los binomios conjugados para poder generalizar su solución es decir encontrar la regla que debemos aplicar.

 

(a +b) (a –b) = (a +b) a + (a +b) (-b)

                     =(a) (a)+ (b) (a) + a (-b)+ b (-b)

                     = a² + ab  –ab  -b²

                    =  = a² -b²

El producto de dos binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados.

 

La regla para obtener el producto de dos binomios conjugados es la siguiente:

Ejercicio :

Encuentra directamente el producto  de los siguientes binomios conjugados  para resolver los siguientes ejercicios.

 

Numero	Binomio Conjugado	Resultado
1	(x + 2y) (x -2y)
2	(3m+ 5n) ( 3m -5n)
3	(2a2 + 3b) (2a2- 3b)
4	(5x3 +10) (5x3-10)
5	( 4a2b + 3c3) (4a2-3c3)
6	(8x4y2 +1) (8x4y2-1)
7	( 3 +2m5) ( 3 -2m5)
8	(2x + 3y) ( 2x -3y)
9	(4a2 +5b) (4a2-5b)
10	(9y3 + 2) (9y3 - 2)

 

Producto de dos binomios con un término común (x +a) (x +b)

El producto notable de dos binomios  con un término común se caracteriza por tener precisamente un mismo término en ambos binomios.

En estos dos binomios x es un término común. Otros ejemplos de binomios  con un término común son los siguientes:

(x + 3 ) (x +2), (a -4) (a -2), (m +59 (m -3), ( y-6) ( y + 5), etc.

 

Podemos obtener el producto de los binomios (x +a) (x +b) con el término común x efectuando la multiplicación.

 

(x +a) (x +b) = x (x +b) + a (x +b)

                     = x (x) + x (b) + a (x) + a (b)

                     = x² + x b + a x +ab

                    = x² + (a+ b) x +ab

 

Con este ejemplo, podemos generalizar la regla para obtener el producto de los binomios con un término común.

 

 Ejercicio . Desarrolla en forma directa el producto de los binomios.

 

Numero	Binomio con un término común	Resultado
1	(t + 6) ( t-12)
2	( a + 5) (a -9)
3	(a + 5)  (a + 9 )
4	( x +1 ) (x + 6)
5	( z +9 ) ( z- 2)
6	( y –  3 ) ( y – 8)
7	( m + 4 ) ( m -10)
8	( n + 10) ( n + 8 )
9	(x -7) ( x +9 )
10	(y + 4 ) ( y -8)